缺失值插补方法程序和数据release, 总结加注解

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这篇文章异常值和缺失值处理环节和步骤, 让数据具有总体代表性告诉咱们什么时候使用如下即将引荐的缺失值填补方法。缺失值处理的最终目的是让样本尽可能代表总体，这样才能够让审稿人放心你的样本不存在偏差，从而让推断出来的结果不具有generalization特征。

在看下面的内容之前，还是先总结一下基本的概念：

在对缺失数据进行处理前，了解数据缺失的机制和形式是十分必要的。将数据集中不含缺失值的变量(属性)称为完全变量，数据集中含有缺失值的变量称为不完全变量，Little和Rubin定义了以下三种不同的数据缺失机制：

1.完全随机缺失(Missing Completely at Random, MCAR)。数据的缺失与不完全变量以及完全变量都是无关的。

2.随机缺失(Missing at Random, MAR)。数据的缺失仅仅依赖于完全变量。

3.非随机,不可忽略缺失(Not Missing at Random,NMAR, or nonignorable)。不完全变量中数据的缺失依赖于不完全变量本身，这种缺失是不可忽略的。

缺失值插补针对两种大的类型：单一插补(single imputation)和多重插补(multiple imputation)。单一插补是指采用一定方式，对每个由于无回答造成的缺失值只构造一个合理的替代值，并将其插补到原缺失数据的位置上，替代后构造出一个完整的数据集。多重插补是一种基于重复模拟的处理缺失值的方法。它从一个包含缺失值的数据集中生成一组完整的数据集。每个数据集中的缺失数据用蒙特卡洛方法来填补。

不过，今天引荐的主要是多重插补，因此，主要关注的是multiple imputation。这里面包括对单一缺失值变量的多重插补和多个缺失值变量的多重插补，分别对应着univariate和multivariate imputation。

以下操作的很多都是基于回归形式进行的(尤其是针对单一缺失变量的多重插补法)，即基于完整的数据集，建立回归方程(模型)。对于包含空值的对象，将已知属性值代入方程来估计未知属性值，以此估计值来进行填充。当变量不是线性相关或预测变量高度相关时会导致有偏差的估计。

下面这个就是填充方法，其中，左边是单一缺失变量的多重回归预测插补，右边是多个缺失变量的多重插补法(包括蒙特卡洛马氏链法，回归预测法)。从缺失值的所属属性上讲，如果所有的缺失值都是同一属性，那么这种缺失成为单值缺失，如果缺失值属于不同的属性，称为任意缺失。另外对于时间序列类的数据，可能存在随着时间的缺失，这种缺失称为单调缺失。

下面这个就是单一缺失变量和多个缺失变量的多重插补方法的进一步描述，不管是哪种类型的缺失值变量，咱们都可以找到对应的估计方法。注意看的话，咱们主要都是通过回归方式去完成缺失值插补的，不过在实际练习中也有一些其他插补方法(比如均值插补)，后面有一些材料可以查看。

缺失值插补内容很多，比如需要考虑插补的那个值是不是合适的，能不能针对因变量的缺失值进行插补，等等。因此，我们制作了一份比较详细的程序和数据。在文章后面，咱们也引荐了一些相关中文材料，对于想要以中文方式理解缺失值的圈友是很必要的。

示例如下

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还有很多内容未能展示，如果对完整版本程序有兴趣，可到社群下载参看。

处理缺失值的主流方法

1. 删除元组(如果样本足够大，我们相信大部分人会这么做，但并不一定对)

也就是将存在遗漏信息属性值的对象(元组，记录)删除，从而得到一个完备的信息表。这种方法简单易行，在对象有多个属性缺失值、被删除的含缺失值的对象与信息表中的数据量相比非常小的情况下是非常有效的，类标号(假设是分类任务)缺少时通常使用。然而，这种方法却有很大的局限性。它是以减少历史数据来换取信息的完备，会造成资源的大量浪费，丢弃了大量隐藏在这些对象中的信息。在信息表中本来包含的对象很少的情况下，删除少量对象就足以严重影响到信息表信息的客观性和结果的正确性；当每个属性空值的百分比变化很大时，它的性能非常差。因此，当遗漏数据所占比例较大，特别当遗漏数据非随机分布时，这种方法可能导致数据发生偏离，从而引出错误的结论。

2. 数据补齐

这类方法是用一定的值去填充空值，从而使信息表完备化。通常基于统计学原理，根据决策表中其余对象取值的分布情况来对一个空值进行填充，譬如用其余属性的平均值来进行补充等。数据挖掘中常用的有以下几种补齐方法：

(1)人工填写(filling manually)

由于最了解数据的还是用户自己，因此这个方法产生数据偏离最小，可能是填充效果最好的一种。然而一般来说，该方法很费时，当数据规模很大、空值很多的时候，该方法是不可行的。

(2)特殊值填充(Treating Missing Attribute values as Special values)

将空值作为一种特殊的属性值来处理，它不同于其他的任何属性值。如所有的空值都用“unknown”填充。这样将形成另一个有趣的概念，可能导致严重的数据偏离，一般不推荐使用。

(3)平均值填充(Mean/Mode Completer）

将信息表中的属性分为数值属性和非数值属性来分别进行处理。如果空值是数值型的，就根据该属性在其他所有对象的取值的平均值来填充该缺失的属性值；如果空值是非数值型的，就根据统计学中的众数原理，用该属性在其他所有对象的取值次数最多的值(即出现频率最高的值)来补齐该缺失的属性值。另外有一种与其相似的方法叫条件平均值填充法(Conditional Mean Completer)。在该方法中，缺失属性值的补齐同样是靠该属性在其他对象中的取值求平均得到，但不同的是用于求平均的值并不是从信息表所有对象中取，而是从与该对象具有相同决策属性值的对象中取得。这两种数据的补齐方法，其基本的出发点都是一样的，以最大概率可能的取值来补充缺失的属性值，只是在具体方法上有一点不同。与其他方法相比，它是用现存数据的多数信息来推测缺失值。

(4)热卡填充(Hot deck imputation, 或就近补齐）

对于一个包含空值的对象，热卡填充法在完整数据中找到一个与它最相似的对象，然后用这个相似对象的值来进行填充。不同的问题可能会选用不同的标准来对相似进行判定。该方法概念上很简单，且利用了数据间的关系来进行空值估计。这个方法的缺点在于难以定义相似标准，主观因素较多。

(5)K最近距离邻法(K-means clustering)

先根据欧式距离或相关分析来确定距离具有缺失数据样本最近的K个样本，将这K个值加权平均来估计该样本的缺失数据。

同均值插补的方法都属于单值插补，不同的是，它用层次聚类模型预测缺失变量的类型，再以该类型的均值插补。假设X=(X1,X2…Xp)为信息完全的变量，Y为存在缺失值的变量，那么首先对X或其子集行聚类，然后按缺失个案所属类来插补不同类的均值。如果在以后统计分析中还需以引入的解释变量和Y做分析，那么这种插补方法将在模型中引入自相关，给分析造成障碍。

(6)使用所有可能的值填充(Assigning All Possible values of the Attribute)

这种方法是用空缺属性值的所有可能的属性取值来填充，能够得到较好的补齐效果。但是，当数据量很大或者遗漏的属性值较多时，其计算的代价很大，可能的测试方案很多。另有一种方法，填补遗漏属性值的原则是一样的，不同的只是从决策相同的对象中尝试所有的属性值的可能情况，而不是根据信息表中所有对象进行尝试，这样能够在一定程度上减小原方法的代价。

(7)组合完整化方法(Combinatorial Completer）

这种方法是用空缺属性值的所有可能的属性取值来试，并从最终属性的约简结果中选择最好的一个作为填补的属性值。这是以约简为目的的数据补齐方法，能够得到好的约简结果；但是，当数据量很大或者遗漏的属性值较多时，其计算的代价很大。另一种称为条件组合完整化方法(Conditional Combinatorial Complete)，填补遗漏属性值的原则是一样的，不同的只是从决策相同的对象中尝试所有的属性值的可能情况，而不是根据信息表中所有对象进行尝试。条件组合完整化方法能够在一定程度上减小组合完整化方法的代价。在信息表包含不完整数据较多的情况下，可能的测试方案将巨增。

(8)回归(Regression)

(9)期望值最大化方法(Expectation maximization,EM)

在缺失类型为随机缺失的条件下，假设模型对于完整的样本是正确的，那么通过观测数据的边际分布可以对未知参数进行极大似然估计(Little and Rubin)。这种方法也被称为忽略缺失值的极大似然估计，对于极大似然的参数估计实际中常采用的计算方法是期望值最大化(Expectation Maximization，EM）。该方法比删除个案和单值插补更有吸引力，它一个重要前提：适用于大样本。有效样本的数量足够以保证ML估计值是渐近无偏的并服从正态分布。但是这种方法可能会陷入局部极值，收敛速度也不是很快，并且计算很复杂。

EM算法是一种在不完全数据情况下计算极大似然估计或者后验分布的迭代算法。在每一迭代循环过程中交替执行两个步骤：E步(Excepctaion step,期望步)，在给定完全数据和前一次迭代所得到的参数估计的情况下计算完全数据对应的对数似然函数的条件期望；M步(Maximzation step，极大化步)，用极大化对数似然函数以确定参数的值，并用于下步的迭代。算法在E步和M步之间不断迭代直至收敛，即两次迭代之间的参数变化小于一个预先给定的阈值时结束。该方法可能会陷入局部极值，收敛速度也不是很快，并且计算很复杂。

(10)多重填补(Multiple Imputation，MI)，关于他的定义，可以看看咱们文章最前面的介绍。

多重填补方法分为三个步骤: 为每个空值产生一套可能的填补值，这些值反映了无响应模型的不确定性；每个值都被用来填补数据集中的缺失值，产生若干个完整数据集合；每个填补数据集合都用针对完整数据集的统计方法进行统计分析；对来自各个填补数据集的结果进行综合，产生最终的统计推断，这一推断考虑到了由于数据填补而产生的不确定性。该方法将空缺值视为随机样本，这样计算出来的统计推断可能受到空缺值的不确定性的影响。该方法的计算也很复杂。

多重插补方法分为三个步骤：①为每个空值产生一套可能的插补值，这些值反映了无响应模型的不确定性；每个值都可以被用来插补数据集中的缺失值，产生若干个完整数据集合。②每个插补数据集合都用针对完整数据集的统计方法进行统计分析。③对来自各个插补数据集的结果，根据评分函数进行选择，产生最终的插补值。

假设一组数据，包括三个变量Y1，Y2，Y3，它们的联合分布为正态分布，将这组数据处理成三组，A组保持原始数据，B组仅缺失Y3，C组缺失Y1和Y2。在多值插补时，对A组将不进行任何处理，对B组产生Y3的一组估计值(作Y3关于Y1，Y2的回归)，对C组作产生Y1和Y2的一组成对估计值(作Y1，Y2关于Y3的回归)。

当用多值插补时，对A组将不进行处理，对B、C组将完整的样本随机抽取形成为m组(m为可选择的m组插补值)，每组个案数只要能够有效估计参数就可以了。对存在缺失值的属性的分布作出估计，然后基于这m组观测值，对于这m组样本分别产生关于参数的m组估计值，给出相应的预测即，这时采用的估计方法为极大似然法，在计算机中具体的实现算法为期望最大化法(EM)。对B组估计出一组Y3的值，对C将利用 Y1,Y2,Y3它们的联合分布为正态分布这一前提，估计出一组(Y1，Y2)。

上例中假定了Y1,Y2,Y3的联合分布为正态分布。这个假设是人为的，但是已经通过验证（Graham和Schafer于1999），非正态联合分布的变量，在这个假定下仍然可以估计到很接近真实值的结果。

多重插补和贝叶斯估计的思想是一致的，但是多重插补弥补了贝叶斯估计的几个不足。

(1)贝叶斯估计以极大似然的方法估计，极大似然的方法要求模型的形式必须准确，如果参数形式不正确，将得到错误得结论，即先验分布将影响后验分布的准确性。而多重插补所依据的是大样本渐近完整的数据的理论，在数据挖掘中的数据量都很大，先验分布将极小的影响结果，所以先验分布的对结果的影响不大。

(2)贝叶斯估计仅要求知道未知参数的先验分布，没有利用与参数的关系。而多重插补对参数的联合分布作出了估计，利用了参数间的相互关系。

参看如下文章: http://blog.sina.com.cn/s/blog_670445240102v08m.html

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